مفهوم تابع و روش های نمایش آن

یک تابع بین دو مجموعه A و B رابطه ای است که به هر عضو از A دقیقا یک عضو از B نسبت داده شود.

تاکنون متوجه شده اید یک نمودار پیکانی ون زمانی معرف تابع است که از هر عضو مجموعه اول یک و تنها یک پیکان به مجموعه دوم خارج شده باشد. در مورد روابطی که بصورت زوج مرتب بیان می شوند نیز متوجه شده اید که شرط تابع بودن، نبودن دو زوج مرتب متفاوت با مولفه های اول یکسان است. همچنین متوجه شده اید که روابطی که بصورت زوج های مرتب بیان می شوند و مولفه های آن اعداد حقیقی اند دارای نموداری در دستگاه مختصات هستند. حال پرسش اینجاست که اگر تنها یک نمودار به ما داده باشند چگونه از روی نمودار تشخیص دهیم که آن نمودار معرف تابع است یا خیر؟

یک نمودار در دستگاه مختصات معرف تابع است هرگاه هر خطی که به موازات محور عرض ها رسم شود نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

دامنه و برد یک تابع را در مثال های بالا دیده و بکاربرده ایم ، بدون اینکه متوجه شده باشید. در واقع مولفه های اول زوج های مرتب در هر تابع را دامنه تابع و مولفه های دوم زوج های مرتب را برد تابع می نامند. دامنه ی تابعی چون f را با \({D_f}\) و برد آن را با \({R_f}\) نشان می دهیم. در اینجا برای سادگی قراردادی را معرفی می کنیم. اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد و عضو \(a \in A\) به عضو \(b \in B\) نسبت داده شده باشد یعنی \(a \to b\) اغلب این عبارت را با نماد \({f_{\left( a \right)}} = b\) خلاصه نویسی می کنیم. گاهی اوقات هم گوییم تصویر a تحت f برابر b است. مثلا در تابع :

\(f = \left\{ {\left( {2, - 1} \right),\left( {\sqrt 2 ,1 - \sqrt 2 } \right),\left( {\pi ,\frac{1}{\pi }} \right),\left( {\frac{1}{3},\frac{2}{5}} \right)} \right\}\)

می نویسیم:

\({f_{\left( 2 \right)}} = - 1,{f_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = 1 - \sqrt 2 ,{f_{\left( \pi \right)}} = \frac{1}{\pi },{f_{\left( {\frac{1}{3}} \right)}} = \frac{2}{5}\)

واضح است که در اینجا :

\(\begin{array}{l}{D_f} = \left\{ {2,\sqrt 2 ,\pi ,\frac{1}{3}} \right\}\\{R_f} = \left\{ { - 1,1 - \sqrt 2 ,\frac{1}{\pi },\frac{2}{5}} \right\}\end{array}\)

در شکل زیر شناسنامه ی یک تابع را نوشته ایم.

وقتی مینویسیم \(f:A \to B\) منظور از A دامنه تابع است. اما B لزوما برد f نیست و همان طور که از شکل مشخص است همواره \({R_f} \subseteq B\) است. به \(y = {f_{\left( x \right)}}\) ضابطه یا قانون تابع گویند. مجموعه B را اغلب هم دامنه تابع f می نامیم.